г. Москва, 125047, Миусская пл.9

(499) 978-84-11, (499) 973-12-85

КАФЕДРА ИНФОРМАТИКИ И КОМПЬЮТЕРНОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ

Международный институт логистики ресурсосбережения и технологической инноватики

Российский химико-технологический университет им. Д.И. Менделеева

Главная

История кафедры

Преподаватели

Учебные курсы

Общие потоки

Информатика

Вычислительная математика

Программа курса

Лекции

Практические занятия

Литература

Компьютерное моделирование химических процессов

Специальность САПР

Коммерческие курсы

Научные исследования

Контакты

Фотографии

СОДЕРЖАНИЕ КУРСА «ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА»

1. Приближенные (численные) методы вычислений, составление алгоритмов, их реализация на компьютерах и оценка погрешностей. Типы вычислительных процессов: линейные, разветвленное и циклические. Понятие алгоритмов расчетов. Графическое представление алгоритмов в виде блок-схем. Реализация алгоритмов расчетов с использованием языка VBA. Структура компьютерной программы: описания и операторы. Описания простых переменных и массивов. Основные типы операторов: присваивания, перехода, условные и циклические. Операторы ввода и вывода данных. Стандартные, нестандартные функции, подпрограммы языка VBA, их описания и обращение к ним.

2. Статистические методы обработки результатов измерений одной случайной величины и их реализация на компьютерах. Оценка результатов серии измерений. Доверительный интервал для оценки математического ожидания случайной величины, полученной по большому и малому объему выборок.

3. Алгоритмизация и программирование операций над матрицами и численные методы обращения матриц. Операции над векторами и матрицами. Линейная зависимость векторов. Понятие обратной матрицы и методы ее вычисления. Реализация метода Гаусса-Жордана для получения обратной матрицы.

4. Решение систем линейных алгебраических уравнений. Классификация систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Нормальные СЛАУ. Однородные и неоднородные СЛАУ. Проблема единственности решения. Безитерационные методы решения неоднородных СЛАУ: обратной матрицы, Крамера, Гаусса. Проблемы погрешности решения. Итерационные методы решения: метод простой итерации и Гаусса-Зейделя. Условия сходимости методов. Способы уточнения решения задачи.

5. Решение задачи интерполяции и аппроксимации. Постановка задачи интерполяции и ее графическое представление. Интерполяция с использованием многочленов Ньютона. Постановка задачи аппроксимации и ее решение для простейшей линейной модели методом наименьших квадратов.

6. Вычисление определенного интеграла. Приближенные методы: прямоугольников, трапеций и Симпсона. Вычисление интегралов с заданной степенью точности.

7. Решение нелинейных уравнений. Постановка задачи решения уравнения. Понятие решения (корня) уравнения. Проблема отделения корней. Уточнение корней уравнения на замкнутом интервале. Итерационные методы уточнения корней: половинного деления, Ньютона (касательных), секущих. Комбинированные методы решения. Условия окончания итерационного процесса решения уравнения. Проблемы сходимости решения.

8. Решение систем нелинейных уравнений. Постановка задачи решения систем нелинейных уравнений (СНУ). Множественность решения СНУ. Итерационные методы решения: простых итераций и Ньютона-Рафсона. Условия окончания итерационных методов решения. Проблемы сходимости решения.

9. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем. Метод Эйлера и его модификации. Проблема устойчивости решения. Решение задачи Коши и краевой задачи.

10. Одномерная оптимизация. Постановка задачи одномерной оптимизации. Определение наименьшего и наибольшего значения функции. Понятие унимодальной функции. Методы решения: половинного деления и "золотого" сечения. Условия окончания вычислений.

11. Многомерная оптимизация. Постановка задачи многомерной оптимизации. Понятие целевой функции и ее графическое представление. Многоэкстремальный характер целевой функции и ее овражный характер. Ограничения при решении задачи оптимизации I и II рода. Методы поиска экстремума целевой функции нулевого порядка: сканирования, поочередного изменения переменных и деформируемых многогранников. Методы экстремума целевой функции первого порядка: градиентный метод и метод наискорейшего спуска. Условия окончания поиска при решении задачи многомерной оптимизации.

ТЕМЫ ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ И СЕМИНАРСКИХ ЗАНЯТИЙ

1. Программирование на VBA. Вычисление выборочных значений среднего, дисперсии и доверительного интервала.

2. Матричные операции. Обращение матрицы.

3. Решение систем линейных алгебраических уравнений.

4. Решение задачи интерполяции с использованием полиномов Ньютона.

5. Определение коэффициентов простейшего линейного уравнения методом наименьших квадратов.

6. Вычисление определенного интеграла методами прямоугольников, трапеций, Симпсона.

7. Исследование функции одной переменной. Уточнение корня нелинейного уравнения методами половинного деления, Ньютона (касательных) и секущих.

8. Решение систем нелинейных уравнений.

9. Решение дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений. Решение задачи Коши с начальными условиями.

10. Решение систем дифференциальных уравнений с краевыми условиями.

11. Поиск экстремума функции одной переменной методами обратного половинного шага и "золотого сечения".

12. Поиск экстремума функции многих переменных методами сканирования, поочередного изменения направлений и симплексным методом.

13. Поиск экстремума функции многих переменных методами градиента и наискорейшего спуска.